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    弹簧类模型中的最值问题
    在高考复习中,常常遇到有关"弹簧类"问题,由于弹簧总是与其他物体直接或间 接地联系在一起,弹簧与其"关联物"之间总存在着力,运动状态,动量,能量方面的 联系,因此学生普遍感到困难,本文就此类问题作一归类分析. 一,最大,最小拉力问题 最大, 例 1. 一个劲度系数为 k=600N/m 的轻弹簧,两端分别连接着质量均为 m=15kg 的物 体 A,B,将它们竖直静止地放在水平地面上,如图 1 所示,现加一竖直向上的外力 F 在物体 A 上,使物体 A 开始向上做匀加速运动,经 0.5s,B 物体刚离开地面(设整个加 速过程弹簧都处于弹性限度内,且 g=10m/s ) .求此过程中所加外力的最大和最小值.
    2

    图1

    解析:开始时弹簧弹力恰等于 A 的重力,弹簧压缩量

    ,0.5s 末 B 物

    体刚要离开地面,此时弹簧弹力恰等于 B 的重力,

    ,故对 A 物体有

    ,代入数据得

    .刚开始时 F 为最小且

    ,B

    物体刚要离开地面时,F 为最大且有
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    ,解得

    .

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    二,最大高度问题 例 2. 如图 2 所示, 质量为 m 的钢板与直立弹簧的上端连接, 弹簧下端固定在地面上,

    平衡时弹簧的压缩量为

    .一物体从钢板正上方距离为



    A 处自由下落打在钢板上,并立即与钢板一起向下运动,但不粘连,它们到达最低点后 又向上运动,已知物块质量也为 m 时,它们恰能回到 O 点,若物体质量为 2m 仍从 A 处 自由下落,则物块与钢板回到 O 点时还有向上的速度,求物块向上运动到达的最高点与 O 点的距离.

    图2

    解析:物块碰撞钢板前作自由落体运动,设

    表示物块与钢板碰撞时

    的速度,则:



    物块与钢板碰撞后一起以 v1 速度向下运动, 因碰撞时间极短, 碰撞时遵循动量守恒,

    即:



    刚碰完时弹簧的弹性势能为
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    , 当它们一起回到 O 点时, 弹簧无形变,
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    弹性势能为 0,根据机械能守恒有:





    表示质量为 2m 的物块与钢板碰撞后开始向下运动的速度,由动

    量守恒有:



    碰撞后,当它们回到 O 点时具有一定速度 v,由机械能守恒定律得:

    ⑤ 当质量为 2m 的物块与钢板一起回到 O 点时两者分离,分离后,物块以 v 竖直上升, 其上升的最大高度:



    解①~⑥式可得

    .

    三,最大速度,最小速度问题 例 3. 如图 3 所示,一个劲度系数为 k 的轻弹簧竖直立 最大速度, 于水平地面上,下端固定于地面,上端与一质量为 m 的平板 B 相连而处于静止状态.今 有另一质量为 m 的物块 A 从 B 的正上方 h 高处自由下落,与 B 发生碰撞而粘在一起,已 知它们共同向下运动到速度最大时,系统增加的弹性势能与动能相等,求系统的这一最 大速度 v.
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    图3 解析:A 下落到与 B 碰前的速度 v1 为:



    A,B 碰后的共同速度 v2 为: B 静止在弹簧上时,弹簧的压缩量为 x0,且:



    ③ A,B 一起向下运动到最大速度 v 时的位移为 x,此时 A,B 的加速度为 0,即有:

    ④ 由机械能守恒得:




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    解①~⑥得:

    例 4. 在光滑水平面内,有 A,B 两个质量相等的木块,

    ,中间用轻质

    弹簧相连.现对 B 施一水平恒力 F,如图 4 所示,经过一段时间,A,B 的速度等于 5m/s 时恰好一起做匀加速直线运动,此过程恒力做功为 100J,当 A,B 恰好一起做匀加速运 动时撤除恒力,在以后的运动过程中求木块 A 的最小速度.

    图4 解析:当撤除恒力 F 后,A 做加速度越来越小的加速运动,弹簧等于原长时,加速 度等于零,A 的速度最大,此后弹簧压缩到最大,当弹簧再次回复原长时速度最小,根

    据动量守恒得:



    根据机械能守恒得:



    由以上两式解得木块 A 的最小速度 v=0. 四,最大转速和最小转速问题 例 5. 有一水平放置的圆盘,上面放一个劲度系数为 k 的轻弹簧,其一端固定于轴 O 上,另一端系着质量为 m 的物体 A,物体 A 与盘面间最大静摩擦力为 Ffm,弹簧原长为 L,

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    现将弹簧伸长

    后置于旋转的桌面上,如图 5 所示,问:要使物体相对于

    桌面静止,圆盘转速 n 的最大值和最小值各是多少?

    图5 解析:当转速 n 较大时,静摩擦力与弹簧弹力同向,即:



    当转速 n 较小时,静摩擦力与弹簧弹力反向,即:



    所以圆盘转速 n 的最大值和最小值分别为:

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    .

    五,最大加速度问题 例 6. 两木块 A,B 质量分别为 m,M,用劲度系数为 k 的轻质弹簧连在一起,放在水 平地面上,如图 6 所示,用外力将木块 A 压下一段距离静止,释放后 A 做简谐运动,在 A 振动过程中,木块 B 刚好始终未离开地面,求木块 A 的最大加速度.

    图6 解析:撤去外力后,A 以未加外力时的位置为平衡位置作简谐运动,当 A 运动到平 衡位置上方最大位移处时,B 恰好对地面压力为零,此时 A 的加速度最大,设为 am.

    对 A:由牛顿第二定律有

    对 B:

    所以 六,最大振幅

    ,方向向下.

    例 7. 如图 7 所示,小车质量为 M,木块质量为 m,它们之间静摩擦力最大值为 Ff,轻 质弹簧劲度系数为 k,振动系统沿水平地面做简谐运动,设木块与小车间未发生相对滑
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    动,小车振幅的最大值是多少?

    图7 解析:在最大位移处,M 和 m 相对静止,它们具有相同的加速度,所以对整体有:



    对 m 有:



    所以由①②解得: 七,最大势能问题

    .

    例 8. 如图 8 所示,质量为 2m 的木板,静止放在光滑的水平面上,木板左侧固定着一 根劲度系数为 k 的轻质弹簧,弹簧的自由端到小车右端的距离为 L0,一个质量为 m 的小 木块从板的右端以初速度 v0 开始沿木块向左滑行,最终回到木板右端,刚好不从木板右

    端滑出, 设木板与木块间的动摩擦因数为 直在弹性限度内)弹簧所具有的最大弹性势能.

    , 求在木块压缩弹簧过程中 (一

    图8
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    解:弹簧被压缩至最短时,具有最大弹性势能

    ,设 m 在 M 上运动时,

    摩擦力做的总功产生内能为 2E,从初状态到弹簧具有最大弹性势能及从初状态到末状 态,系统均满足动量守恒定律,即:

    ① 由初状态到弹簧具有最大弹性势能,系统满足能量守恒:

    ② 由初状态到末状态,系统也满足能量守恒且有:



    由①②③求得: 从以上各例可以看出, 尽管弹簧类问题综合性很强, 物理情景复杂, 物理过程较多, 但只要我们仔细分析物理过程,找出每一现象所对应的物理规律,正确判断各物理量之 间的关系,此类问题一定会迎刃而解.

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