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北京十一选五开奖结果 www.frdg.net 第五节

顺序统计量与样本极差

1.1 定义 :设 X1 , X2……, Xn 是取自某总体 X 的样本, 则 X (1) , X (2) ,……, X (n) 为一组统计量,它们称为顺 序统计量(Order Statistic), X (k) 称为第 k 个顺序统计 量(即它的每次取值总是取每次样本观测值由小到大

排序后的第 k 个值). 其中特别地称
x(1) ? min xi 为最小顺序统计量(Minimum order Statistic); 1? i ? n x( n ) ? max xi 为最大顺序统计量(Maximum order Statistic).
1? i ? n

注:称
X ( n ) - X (1)
X n ?1 , n为奇数 ? ( ) 2 ~ ? X ? ?1 ? ( X ( n ) ? X ( n ?1) ), n为偶数 2 2 ?2

为极差;

为样本中位数。

例 设总体 X 的分布如下:

X p

0 1/3

1 1/3

2 1/3

现抽取容量为 3 的样本, 共有 27 种可能取值, 列表如下
x1 0 0 0 1 0 0 2 0 1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) 0 0 1 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 2 2 2 1 1 1 0 0 1 2 1 2 0 2 1 1 2 0 0 2 1 2 0 0 2 1 2 1 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 1 1 2 2 1 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2

由此可得 X(1) , X (2) , X (3) 的分布列如下:

X(1)

0
19/27

1
7/27

2
1/27

X(2)

0
7/27

1
13/27

2
7/27

p
X(3)

p

0
1/27

1
7/27

2
19/27

p

其分布 各不相同
2 3/27

进而可得 X(1)与 X (2) 的联合分布如下:
X(2) X(1) 0 7/27 9/27 0 1

X (1)与X (2)
并不独立

1
2

0
0

4/27
0

3/27
1/27

P( x(1) ? 0) P( x(2)

7 19 7 ,而P( x(1) ? 0, x(2) ? 0) ? ? 0) ? ? 27 27 27

注: 在一个样本中, X1 , X 2,……, Xn 是独立同分布的,
而次序统计量 X (1) , X (2) ……, X (n) 则可能既不独立,
分布也不相同.

2、单个次序统计量的分布 定理 1
设总体 X 的密度为

p( x), a ? x ? b, 分布函数为 F(x),

X1 , X2……, Xn 是取自总体 X 的样本,则第 k 个次序统计量

X(k) 的密度函数为
n! k ?1 n ?k ? ? F ( x)? ?1 ? F ( x)? p( x), ? pk ( x) ? ? (k ? 1)!(n ? k )! ? 0 ? a? x?b 其它

例 设总体 X 分布为 U(0,θ), X1 , X2……, Xn 是取自总
体的样本,试写出 X(1) , X(n) 的密度函数.
x n -1 1 ? ?n(1 ? ) , 0 ? x ??, p(1) ( x) ? ? ? ? ? 0, others. ? ? x n -1 1 ?n ( ) , 0 ? x ??, p( n ) ( x) ? ? ? ? ? 0, others. ?

例 设总体 X 的密度为

p( x) ? 3x ,0 ? x ? 1,
2

现从总体抽得一个容量为5 的样本, 试计算

P ( X ( 2)

1 ? )?? 2

3、两个次序统计量的联合分布
定理 2 设总体 X 的密度为 p( x), a ? x ? b, 分布函数为

F(x), X1 , X2……, Xn是取自总体 X 的样本,则次序统
计量 (X(i) , X( j)) ( i < j ) 的联合密度函数为
n! i ?1 j ?i ?1 n-j ? ? F ( y)? ? F ( z) ? F ( y)? ?(1 ? F (z )? p( y ) p (z ), a ? y ? z ? b ? pij ( y, z ) ? ? (i ? 1)!( j ? i ? 1)!(n ? j )! ? 0 其它 ?

例 设总体 X 分布为 U(0,1), X1 , X2……, Xn 是取自总

体的样本,
(1) 试写出 (X(1) , X(n)) 的联合密度函数.

(2) 次序统计量的函数 X(n) - X(1) 称为样本极差, 求其
密度函数.

思考题
设总体X的分布函数为F ( x),X 1 ,..., X n为简单随机样本, 考虑(不需严格证明)

lim X ( n ) ? ?
n ??

lim X (1) ? ?
n ??


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